Binary options implied volatility

Como negociar a volatilidade usando opções binárias - Patrocinado por Nadex Opções binárias são semelhantes às opções clássicas com algumas nuances leves, mas os componentes utilizados para as opções de preços são o mesmo mercado subjacente, greve (K), volatilidade e tempo. Embora esses componentes sejam todos importantes e tenham suas influências no preço, vamos nos concentrar nas oportunidades de curto prazo com volatilidade de negociação usando opções binárias. O preço de uma opção binária é realmente o consenso dos mercados que haverá um resultado particular em um momento específico. Por exemplo, poderia ser que o SampP 500 estará acima de 1650 às 2pm no dia seguinte. Se a greve binária estiver em torno do preço de mercado subjacente real, neste caso o contrato de futuros do E-mini SampP 500, então o preço binário será de cerca de 50. O binário à expiração vale 100 por contrato, considerando este cenário binário Partido (comprador ou vendedor) tem uma vantagem imediata assim que seu preço cerca de metade do valor do contrato. Existem dois tipos de volatilidade, histórica e implícita. Histórico é simplesmente como o preço do ativo subjacente mudou no passado durante um determinado período de tempo. A volatilidade implícita é como o mercado atualmente espera que o ativo atue no futuro. Volatilidade histórica tem uma forte tendência a reverter para a média assim um comerciante prudente sempre está ciente de que a volatilidade histórica tem sido e que a volatilidade implícita está prevendo os movimentos será. Vender a Volatilidade / Intervalo de Negociação Se você acredita que o mercado subjacente ficará estagnado e / ou permanecer dentro de um certo intervalo, então usar binários pode ser útil para capitalizar sua visão. Os ataques binários que você consideraria são binários do ITM, o que significaria que seu custo inicial é uma parcela maior do pagamento máximo de 100 expirações. (Você está pagando pela vantagem imediata) Usando esta estratégia, você pode comprar ou vender a greve binária outright que está no dinheiro (ITM) ou você pode criar um combo comércio onde ambas as pernas seria ITM. Vamos olhar para um exemplo que temos um binário de ouro com o mercado subjacente atualmente negociando em 1301.10. Você acredita que o mercado de Ouro vai ficar estagnado a ligeiramente deriva maior para as próximas 1 horas antes da expiração do contrato binário. Há muitas opções de greves listadas no Nadex para escolher, mas estamos nos concentrando na greve 1300.0 e 1303.0, que terá um melhor retorno em comparação com se optamos greves com uma largura maior. Usando esta estratégia, a largura da greve mais larga realmente aumenta a probabilidade de um resultado favorável na expiração, mas também aumenta o custo inicial, reduzindo assim o ROI quando comparado a uma faixa mais estreita. Nós estamos comprando o binário com a greve mais baixa e vendendo o binário com a greve mais alta e antecipando o mercado subjacente para permanecer dentro desta escala. Combo Trade for Selling Volatility Comprar 1 - Ouro (Jun) gt 1300.0 a 75 Custo inicial: 75 / contrato Se o subjacente termina acima da greve 1300.0, então o lucro líquido seria de 25 / contrato Vender 1 - Ouro (Jun) gt 1303,0 a 26,5 Preço inicial: 73,50 / contrato (100 26,5 preço de negociação) Se o subjacente terminar em ou abaixo da greve 1303,0, então o lucro líquido seria 26,50 / contrato Custo combinado 75 73,50 148,50 Ouro Expira acima de 1303,0 Ouro (Jun) gt 1300,0 vale 100 / Contrato Ouro (Jun) gt 1303.0 vale 0 / contrato Perda líquida no vencimento lt48.50gt Ouro Expira abaixo de 1300.0 Ouro (Jun) gt 1300.0 vale 0 / contrato Ouro (Jun) gt 1303.0 vale 100 / contrato Perda líquida no vencimento lt48 .50gt Ouro Expira entre 1300.0 - 1303.0 Ouro (Jun) gt 1300.0 vale 100 / contrato Ouro (Jun) gt 1303.0 vale 100 / contrato Lucro líquido na expiração 51,50 exemplos acima não incluem taxas de câmbio Potencialmente se o mercado permanecer estável e Termina dentro das duas greves você receberá um pagamento duplo mas uma perna binária sempre terminará no dinheiro na expiração. A idéia é que seu binário já está no dinheiro, então você quer que o binário expirar o mais rápido possível, na verdade, com binários de tempo de decaimento funciona em seu favor para as opções de ITM. Se você acredita que o mercado subjacente será volátil e talvez cauteloso de negociação devido ao risco percebido antecipado, em seguida, usando binários pode ser uma ferramenta útil para capitalizar sobre a sua visão. Os ataques binários que você consideraria são binários OTM, o que significa que seu custo inicial é uma parcela muito menor do pagamento máximo de 100 expiração. (Você está entrando em um comércio em desvantagem, refletindo um menor custo de entrada) Usando esta estratégia, você pode comprar ou vender a greve binária outright (comércio direcional) que está fora do dinheiro (OTM) ou você pode criar um combo comércio onde Ambas as pernas seriam OTM. Vamos olhar para um exemplo em que temos o binário USD / JPY com o mercado subjacente atualmente negociando em 102.24 que expira em 8 horas e meia. O mercado de dólar / iene tem estado em uma escala negociando estreita por algum tempo e de nossa análise técnica, nós estamos antecipando um movimento grande no dólar / iene. Na verdade, você acredita que um grande movimento é iminente, mas não pode colocar seu dedo nele direcionalmente. Uma estratégia que você pode usar para capitalizar neste cenário de mercado está comprando altos ataques binários e vendendo os ataques baixos dos binários. Você está tomando posições com custos de entrada baratos, mas beneficiar se o movimento de mercado subjacente antecipado vem com um pagamento de percentagem maior. Novamente, há muitas opções de ataque listadas no Nadex para escolher, mas estamos nos concentrando nas greves de 102,60 e 102,00 que são apresentadas abaixo. Combo Comércio para compra de volatilidade Comprar 1 USD / JPY gt 102,60 a 7,50 Custo inicial: 7,50 / contrato Se o subjacente termina acima da greve 102,60, em seguida, o lucro líquido seria 92,50 / contrato Vender 1 - USD / JPY gt 102,00 em 83,50 Custo inicial: 16,50 / contrato (100 83,50 preço de negociação) Se o subjacente termina em ou abaixo do 102,00 greve, então o lucro líquido seria 83,50 / contrato Custo combinado 7,50 16,50 24,00 USD / JPY Expira acima de 102,60 USD / JPY gt 102,60 vale 100 / contrato USD / JPY gt 102.00 vale 0 / contrato Lucro líquido à expiração 76.00 USD / JPY Vence abaixo 102.00 USD / JPY gt 102.60 vale 0 / contrato USD / JPY gt 102.00 vale 100 / contrato Lucro líquido à expiração 76.00 USD / JPY Vence entre 102.00 - 102.60 USD / JPY gt 102.60 vale 0 / contrato USD / JPY gt 102.00 vale 0 / contrato Perda líquida à expiração lt24.00gt A negociação de futuros, opções e swaps envolve risco e pode não ser apropriada para todos os investidores. Vega Call opção vega mede a variação no preço de uma opção devido a uma mudança na volatilidade implícita e é o gradiente da inclinação do perfil de preço de opções binárias de chamada versus volatilidade implícita. Esta página fornece a derivação da fórmula da opção de compra binária vega a partir dos primeiros princípios, ilustra a opção de compra binária vega em relação ao tempo de expiração e volatilidade implícita, seguido pela própria fórmula. Taxas de juros zero são assumidas como de costume. A vega tem uma importância crucial na condução de gerenciamento de risco de carteira de opções binárias ou quando simplesmente tomar uma única posição especulativa. Para o mercado de opções que está conduzindo o gerenciamento dinâmico de risco de carteira, o vega é, na verdade, o que o mercado delta neutro está negociando, constantemente comprando e vendendo vol e protegendo os deltas através da negociação do subjacente. Assim, para o mercado-maker, sabendo que vega é o mesmo que um comerciante de futuros sabendo quantos contratos de futuros são long / short. O trader que usa opções binárias para ter vistas direcionais precisa entender o efeito de vega uma vez que uma compra de chamadas binárias pode muito bem ser complementada com um aumento no subjacente, mas uma mudança na volatilidade implícita poderia afetar negativamente o valor da opção de chamada binária após o movimento. Opção de Opção Binária Vega e Vega Finita A vega V de qualquer opção é definida por: P preço da opção volatilidade implícita P a mudança no valor de P uma mudança no valor da Figura 1 mostra os perfis de preço da opção de compra binária sobre diferentes volatilidades implícitas . A Figura 2 mostra como, com sete preços subjacentes estáticos, as opções de chamadas binárias mudam de valor à medida que a volatilidade implícita aumenta de 1,0 para 45,0, então, na verdade, um perfil da Figura 2 é uma seção transversal vertical desse preço subjacente na Figura 1. O que também Pode ser reconhecido é que a legenda é invertida a partir da mesma ilustração em binário put opção vega. Isso porque em 99.75 no exemplo de opção de venda a opção está in-the-money, enquanto que com a opção de opção aqui, a opção é out-of-the-money. Quando o preço subjacente é de 100,00 a opção está no dinheiro e as alterações na volatilidade implícita não tem qualquer efeito sobre o preço da opção binária como é sempre 50. O perfil de 18,0 da Figura 1 é o mais alto dos perfis quando out - Of-the-money (onde Slt100.00), mas o mais baixo dos perfis quando a opção de chamada binária é in-the-money (Sgt100.00). O que isto sugere é que à medida que a volatilidade implícita sobe a opção aumenta em valor quando fora do dinheiro (vega positivo) e diminui em valor quando em-o-dinheiro (vega negativo). Fig.1 Opção de chamada binária Perfis de preço w. r.t. Volatilidade implícita A Figura 2 mostra como as opções de chamadas binárias mudam de valor para um preço subjacente específico onde a volatilidade implícita é mostrada no eixo horizontal. O gradiente de um perfil individual para uma determinada volatilidade implícita fornecerá o vega para essa opção de chamada binária. É evidente que abaixo do Valor Justo de 50, ou seja, quando as opções estão fora do dinheiro, o valor da opção aumenta à medida que a volatilidade implícita sobe ao longo do eixo inferior, significando perfis positivamente inclinados e, portanto, vegas positivo. Ao mesmo tempo acima do preço justo de 50 as opções estão caindo em valor à medida que a volatilidade implícita sobe, levando a perfis negativamente inclinados e vegas negativo. Como a volatilidade implícita continua a subir para 45,0 todos os perfis de concertina em torno de 50 e aplainar levando a muito baixa vega em volatilidades implícitas muito elevados. Fig.2 Opções de Opção de Compra Binária Perfis de Preço com Preços Fixos Subjacentes A vega (conforme representada pela fórmula acima Eq (1) mede o gradiente das inclinações na Figura 2. A Figura 3 é o perfil de preços S99.75 que vai de 4.0 volatilidade implícita a 16,0 volatilidade implícita, é uma seção do perfil de 99,75 da Fig. 2. Os acordes foram adicionados centrada em torno de 10,0 volatilidade implícita de modo que, por exemplo, o acorde 6.0 se estende de 7,0 vol para 13,0 vol. Desde o perfil de preços está aumentando exponencialmente Gradiente (P2 P1) / (2 1) P2 Valor de chamada binária em 2 P1 Valor de chamada binária em 1, isto é, Gradiente (42.4366), o gradiente dos acordes diminui quanto maior o comprimento do acorde. 36.4953) / (13 7) 0,9902 conforme indicado na coluna t 6 da coluna central da Tabela 1. Fig. 3 Inclinação do Vega a 99,75 mais aproximação dos acordes de Vega Os gradientes do acorde de 10,0 e do acorde de 2,0 são calculados na mesma Tabela 1 - De Gradiente de Chord a Call Vega À medida que a diferença entre as volatilidades implícitas estreita o gradiente tende a vega de 0,9056 a 10,0 volatilidade implícita, ou seja, onde 0,0. O vega é, portanto, o primeiro diferencial do valor justo de chamada binária em relação à volatilidade implícita e pode ser declarado matematicamente como: como 0, V dP / d o que significa que quando cai para zero o gradiente se aproxima da tangente (vega) do preço Perfil da Figura 2 com 10,0 volatilidade implícita. Opção de chamada binária Vega w. r.t. Volatilidade implícita A Figura 1 ilustra perfis de chamadas binárias de 4 dias para expirar com a Figura 4 fornecendo as vegas associadas para as mesmas volatilidades implícitas. Independentemente da volatilidade implícita a vega quando no dinheiro é sempre zero. Quando out-of-the-money a opção de compra binária vega é sempre positiva (como com out-of-the-money opções de chamada convencional), mas quando in-the-money a opção de chamada binária vega é negativo (ao contrário in-the - Dinheiro chamadas convencionais). Fig.4 Opção de Chamada Binária Vega w. r.t. Volatilidade implícita Como a volatilidade implícita cai de 18,0 (onde os valores absolutos do vega são os mais baixos dos perfis) os picos e depressões das vegas aumentam absolutamente enquanto os picos e depressões se aproximam da greve. Opção de chamada binária Vega w. r.t. Tempo de Expiração Figuras 5 amp 6 fornecer as opções de opções binárias perfis de preços ao longo do tempo para expirar com a opção de chamada binária associada vega. A vega absoluta máxima na Figura 6 é bastante estável em torno de 2,43, independentemente do tempo até à expiração, embora o tempo até a expiração determine o quão perto da batida o pico e calha em vega é. Fig.5 Opção de chamada binária Perfis de preço w. r.t. Tempo de expiração Fig.6 Opção de chamada binária Vega w. r.t. Tempo de expiração Independentemente do tempo até a expiração da opção de compra binária vega viaja através de zero para a razão agora familiar que binários no preço são de 50, ou muito perto dele. Os pontos de destaque são: 1) Considerando que os vegas convencionais de opção de compra são sempre positivos, uma vez que o aumento da volatilidade implícita sempre aumenta o valor da opção, o efeito de um aumento na volatilidade implícita com opções binárias de compra pode ser positivo ou negativo, Estão dentro ou fora do dinheiro. 2) Considerando que com as opções de chamada convencional vega é sempre em seu absoluto mais alto quando no-o-dinheiro, a opção de compra binária vega quando no-o-dinheiro é sempre zero. 3) Out-of-the-money opções de opções binárias têm vega positiva ou zero, no-money opções de chamadas binárias têm vega zero ou negativo. FormulaOfcourse, É sempre possível encontrar a volatilidade implícita. O valor da chamada binária é N (d2) onde d2frac) (rD-frac) tau Agora, não há nada que possa sempre parar o método newton raphson para encontrar um sigma para o qual o valor da chamada binária é dado e é positivo se Que o valor dado é BC então essencialmente 0ltBClt Apenas, mude seu código para mudar incrementalmente o valor do erro assim como o ponto de partida no raphson do newton até que alcangue a solução correta. Nota: Use a aproximação de função CDF, pois é melhor nas extremidades do que o excel construído em NormsDist d frac a1 0,31938153 a2 -0,356563782 a3 1,781477937 a4 -1,821255978 a5 1,330274429 Excepto se If x lt 0, Então cdf 1 - cdf respondeu Mar 31 14 at 13:12 Volatilidade implícita é usada para explicar o preço de mercado, geralmente de opções de baunilha. Valores de chamada binária vão para zero quando o sigma rightarrow infty. Aumentar a volatilidade não aumenta o preço como ele faz para as opções de baunilha. Você pode outra pergunta que derramar mais luz. Os binários SPZ citados no CBOE no SPX estão completamente fora do intervalo de valores binários máximos. A oferta e pedir são ambos maiores. Binários como você sabe, eles são derivados de opções de baunilha, então é melhor limitar o volume implícito para as opções de baunilha, em seguida, explicar a diferença nos binários em termos de fatores de mercado, como inclinação, oferta / demanda, liquidez. Nesse sentido, a volatilidade implícita não é calculável no sentido tradicional ou não existe. Espero que isso explique tudo. Respondeu Jun 13 14 at 20:03 A menos que o valor da opção é exatamente 50, sim, há uma volatilidade implícita. Eu escrevi um programa para computá-lo, e até mesmo usado para postar volatilidade implícita NADEX regularmente por um par de anos. Onde udistr é o inverso da função de distribuição cumulativa para a distribuição normal. A derivação: O valor da opção é a chance percentual de que o valor subjacente valerá mais do que o preço de exercício no vencimento. Se o subjacente tiver volatilidade anual vol. O desvio padrão do log de seu preço ao longo de um ano é vol. por definição. Para os anos de exp, o desvio padrão de log (preço) é sqrt (exp) vol Agora calculamos o número de desvios padrão entre o log do preço de exercício e o log do preço atual de subjacentes. Este cálculo é: (log (strike) - log (under)) / (sqrt (exp) vol) (observe que eu uso log (strike / under) no meu código, o que é equivalente) Uma vez que conhecemos esse valor, podemos Use a função de distribuição cumulativa da distribuição normal para calcular a probabilidade de que o subjacente exceda o preço de exercício na expiração: Podemos então desvendar esta equação (e fazer algumas simplificações) para encontrar a volatilidade implícita, conforme dito acima. Observe que estou assumindo que estas são opções de curto prazo e que a taxa de juros livre de risco pode ser ignorada com segurança. Uma opção de compra binária fora do orçamento terá duas volatilidades implícitas. Após a primeira volatilidade implícita continuar a olhar para volatilidades implícitas cada vez mais elevados. Depois de um tempo, o preço da opção de compra binária não aumenta ainda mais, isto é, a vega de chamada binária cai para zero e, em seguida, o preço da opção de compra binária começa a cair à medida que a volatilidade implícita continua a subir, isto é, a vega torna-se negativa. Por que esta condição existe é baixo para o valor de uma chamada out-of-the-money sendo tampado (em cerca de 0,5), mas como a volatilidade implícita continua aumentando há uma maior probabilidade de que a opção será inútil. Não há nenhum ponto em mim provando isso aqui, então tente-o usando as equações acima. Como trocar opções binárias em mercados voláteis Volatilidade de pares de forex é bastante comum em grandes mercados, mas não deve ser temido por aqueles que negociam opções binárias. Embora exista uma coisa como a coisa como muita volatilidade, muitos comerciantes são capazes de gerar lucros consideráveis ​​quando os preços estão em movimento. Movimento de preço ativo simplesmente exige que a estratégia apropriada ser usado para determinar se o preço é provável a subir ou a cair no futuro próximo. Quando a negociação em condições voláteis, torna-se extremamente importante para selecionar as configurações de comércio muito melhor. Instrumentos como Range e Boundary devem ser completamente evitados quando os preços estão em movimento. Nenhum comércio Touch deve ser evitado também. Estes tipos de negócios só devem ser utilizados quando as condições de mercado são fixas, ou intervalo-limite. Este tipo de movimento é geralmente no lugar quando nenhuma notícia importante do mercado está tendo um impacto no sentimento do investidor. Instrumentos de opções binárias Os melhores instrumentos para escolher quando a ação de preço é volátil serão as opções binárias básicas Put / Call trade, a variação de 60 segundos do comércio básico e One Touch. Cada um destes instrumentos vai exigir preços para estar em movimento, se eles estão a terminar no dinheiro. Dos três, One Touch apresentar a maior quantidade de risco, como este instrumento muitas vezes requer não apenas movimento, mas movimento substancial, a fim de ser rentável. O comércio de 60 segundos é ideal para movimentos de curto prazo, com o padrão Put / Call trade oferecendo tempos de expiração ligeiramente mais longos. A selecção de um prazo de validade adequado é extremamente importante. Como regra geral, períodos de expiração mais curtos são a melhor seleção quando os mercados são voláteis, mas há valor na seleção de negócios de longo prazo que proporcionam tempo para o preço para encontrar algum equilíbrio. Dito isto, os comerciantes novatos muitas vezes acham a longo prazo negociações para ser um desafio, como prever o movimento de preços com antecedência pode ser uma tarefa bastante difícil. Os comerciantes experientes podem encontrar este um desafio também, que é uma das razões para a popularidade de expists mais curtos. Leia o nosso artigo (Como escolher os melhores prazos de expiração para negociações de opções binárias) Todos os comerciantes precisam aprender quando, ou não para o comércio. Esta é uma habilidade que virá com tempo e experiência. Nem todos os comércios são criados iguais, e haverá momentos em que o movimento dos preços é tão errático que a previsão precisa se torna quase impossível. Além disso, as decisões sobre os montantes de investimento não devem ser tomadas de forma ligeira quando os preços não se deslocam numa direcção clara. É possível atingir metas de lucro diário ao comprometer menores montantes de investimento para cada comércio, mas um maior volume de comércio será necessário. Qualquer e todos os tipos de movimento de preços podem ser rentáveis, desde que as seleções corretas são feitas. A volatilidade apresenta um desafio às vezes, mas o desafio não é tão grande que não pode ser superado. Análise técnica aprofundada pode fornecer informações importantes em relação ao passado e os movimentos mais recentes, enquanto análise fundamental fornecerá pistas e por que os investidores estão comprando ou vendendo. Quando combinado, esta informação pode fornecer previsões extremamente precisas para negociações de opções binárias. Em teoria, como a volatilidade deve afetar o preço de uma opção binária Uma opção típica fora do dinheiro tem valor mais extrínseco e, portanto, volatilidade desempenha um fator muito mais perceptível. Agora vamos dizer que você tem uma opção binária com preço de 0,30 como as pessoas não acreditam que vai valer 1,00 no vencimento. Quanto a volatilidade afeta este preço A volatilidade pode ser alta no mercado, inflacionando o preço de todos os contratos de opções, mas as opções binárias se comportariam de forma diferente Eu ainda não olhei como elas são afetadas na prática ainda, apenas olhando para ver se elas seriam diferentes em teoria. Além disso, os binários CBOEs só estão disponíveis em índices de volatilidade, por isso fica um pouco redundante tentando determinar o quanto o valor da volatilidade afeta o preço das opções binárias sobre a volatilidade. O preço de uma opção binária, ignorando as taxas de juros, é basicamente o mesmo que o CDF phi (S) (ou 1-phi (S)) da distribuição de probabilidade terminal. Geralmente essa distribuição terminal será lognormal a partir do modelo Black-Scholes, ou próximo a ele. O preço das opções é C e intKinfty psi (ST) dST P e int0K psi (ST) dST A volatilidade amplia a distribuição e, sob o modelo de Black-Scholes, muda seu modo um pouco. De um modo geral, o aumento da volatilidade aumentará a densidade na região de recompensa para opções fora do dinheiro, aumentando assim o seu valor teórico. Assumindo que sua opção valia 0,30 devido a probabilidades e não altas taxas livres de risco r, mais volatilidade aumentará seu valor. Aumentar a densidade na região de não-pagamento para as opções de dinheiro, diminuindo assim o seu valor teórico. Uma opção agora vale 0,70 vai perder valor, como a probabilidade de terminar fora da região payoff é aumentada. À medida que a volatilidade sigma se aproxima de infty, todos os preços das opções convergem para 0 para chamadas e 1 para puts. Na terra Black-Scholes, mesmo que o termo frac para 0 ea distribuição de probabilidade esteja se estendendo até o infinito no lado positivo e negativo da exponencial de sua distribuição, concentra-se lognormalmente em valores menores que qualquer greve finita . Portanto, as chamadas fora do dinheiro terão um valor máximo com alguma volatilidade que concentre tanta probabilidade quanto possível abaixo da greve antes de concentrar a distribuição muito perto de zero. Editar. Um enorme obrigado a Veeken a apontar que é out-of-the-money chamadas, em vez de coloca, que assumir um máximo valor teórico. Eu não entendo o que você quer dizer com 39flat39 skew no modelo BS. Assim que sigmagt0, há desvio no modelo BS. Permita-me lançar a primeira integral acima em termos BS: BinaryCashCall e N (d2) com d1, d2 dado aqui: en. wikipedia. org/wiki/hellip. Como sigma para infty, d1 para infty enquanto d2 para - infty. Isto torna N (d2) a 0, e assim faz o preço de chamada binário 0. Por simetria óbvia, a colocação binária vai para 1 no evento. Tudo isso está no mundo BS. Obrigado pelo seu tempo. Ndash Veeken May 8 13 at 20:48 Veeken: obrigado por apontar o erro. Por quotflat skew no senso de negociação de opções, quero dizer que um operador de opções iria perceber opção implicada vols para ser o mesmo em greves se os preços de opção foram gerados pelo modelo BS. No sentido de momentos distributivos, você está bastante certo de que o 3º momento (inclinação) é negativo para este modelo. É uma colisão infeliz de terminologia entre comerciantes e matemáticos que a mesma palavra é usada em ambos os sentidos. Ndash Brian B May 10 13 at 0:35 Eu tenho uma prova matemática sem gráficos ou imagens. Suponha que r0, o que queremos é ver o que acontece se a volatilidade mudar em EQ1. A última quantidade é Q (STgtK) Q (log ST gt log K). Em Q, sabemos que STS0 expleft (-frac12 sigma2T sigma WTright), então o log ST é distribuído como N (log S0 - frac12sigma2T, sigma2 T). Então podemos escrever Qleft (sigma sqrt N log (S0) - frac12 sigma2T gt log Kright) que é igual a Qleft (Ngtfrac frac12 sigma2T direita). Como f (y) Q (Ngty) diminui em y, basta estudar yy (sigma) frac frac12 sigma2T. Se KgtS0 (fora da opção de dinheiro), então se sigma para 0, y (sigma) para infty eo mesmo acontece se sigma para infty. Portanto, há um mínimo para sigmasqrt. Deduzimos (por continuidade) que f (y (0)) 0, f (y (infty)) 0, e temos um máximo para sigmasqrt. Se em vez disso KltS0 (na opção de dinheiro), sigma para 0 dá - infty, sigmato infty ainda dá infty ea função y (sigma) é estritamente crescente. Então f (y (0)) 1, f (y (infty)) 0 ef é estritamente decrescente. Finalmente, para uma opção de dinheiro S0K, temos f (y) Qleft (N gt frac12 sigma sqrt Tright), então f (0) frac 12 e f estritamente diminui para o valor 0. Espero que isso ajude.